Logiikka: rationaali- ja irrationaaliluvun tulo

Kysymys 1 / 1
Ratkaise tehtävä.

 

Todista, että nollasta poikkeavan kokonaisluvun ja irrationaaliluvun tulo on irrationaaliluku.

Matemaattinen todistus
Question Popup: 
Matemaattisessa todistustehtävässä on eriteltävissä kolme vaihetta: oletus, väite ja todistus. Todistuskeinoista käymme läpi suoran ja käänteisen todistuksen sekä yleisen ristiriitatodistuksen. Jos oletuksena on A ja väitteenä B

• suorassa todistuksessa osoitetaan 

• käänteisessä todistuksessa tehdään vastaoletus  ja päätellään  eli ristiriita oletuksen kanssa.

• yleisessä ristiriitatodistuksessa tehdään vastaoletus  ja päätellään vastaoletuksen sekä oletuksen A avulla jokin ristiriita. Ristiriita voi olla esimerkiksi väite, joka tiedetään entuudestaan epätodeksi.

Todistustehtävissä parillista lukua p merkitään esimerkiksi  ja paritonta lukua .

Rationaalilukua taas merkitään . Edellisissä q, m ja n ovat kokonaislukuja ja n on erisuuri kuin 0. Irrationaalilukua ei voida esittää missään tietyssä muodossa, joten jos todistustehtävissä esiintyy irrationaaliluku, on käytettävä ristiriitatodistusta.
Lähetä palautetta tehtävästä
Kirjoita vastauksesi tähän. Lisää tilaa saat raahaamalla alareunan harmaata palkkia.

Oikea vastaus:

Oletus: Luku m on nollasta poikkeava kokonaisluku ja luku n irrationaaliluku.

Väite: Luku mn on irrationaaliluku.

Todistus: Tehdään vastaoletus: mn on rationaaliluku. Vastaoletuksen perusteella on olemassa kokonaisluku p ja nollasta poikkeava kokonaisluku q siten, että
.

Ratkaistaan näillä tiedoilla luku n.



Koska kaikki luvut p, q ja m ovat kokonaislukuja ja luvut q ja m erisuuria kuin 0, on luku n kokonaislukujen osamääränä rationaaliluku. Tämä on ristiriita oletuksen kanssa. Nollasta poikkeavan kokonaisluvun ja irrationaaliluvun tulo on siis irrationaaliluku.