Todennäköisyysjakauma: standardinormaalijakauma
Kysymys 1 / 3
Ratkaise tehtävä.
Olkoon muuttuja x standardinormaalijakautunut odotusarvona 0 ja hajontana 1 eli
Laske seuraavat todennäköisyydet.
Normaalijakauma
Olkoon muuttuja x standardinormaalijakautunut odotusarvona 0 ja hajontana 1 eli
Laske seuraavat todennäköisyydet.
Normaalijakauma
Question Popup:
Tärkein jatkuva jakauma on nimeltään normaalijakauma. Käyrää kutsutaan myös Gaussin käyräksi ja kellokäyräksi.
Normaalijakauman kuvaaja on symmetrinen odotusarvon
suhteen. (Odotusarvon sijasta voidaan käyttää myös keskiarvoa.) Jakauman keskihajonta vaikuttaa käyrän korkeuteen ja leveyteen.
Kaikki normaalijakaumat voidaan normittaa vastaamaan standardinormaalijakaumaa, jossa odotusarvona on 0 ja hajontana 1.
Tiheysfunktion kuvaajan ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala on kokonaisuudessaan tasan 1. Satunnaismuuttujan eri todennäköisyyksiä voidaan laskea tutkimalla tiheysfunktion ja x-akselin eri väleillä rajaamia pinta-aloja. Standardinormaalijakauman kertymäfunktion arvoja on listattuna taulukkokirjassa. On hyvä muistaa, että taulukkokirjassa on lueteltu todennäköisyydet aina tiettyyn pisteeseen a saakka eli
Jos epäyhtälömerkki on toisinpäin tai luvun a arvo on negatiivinen, komplementtitapahtuman todennäköisyyksien ja symmetrisyyden avulla saadaan:
Huom. Kuuluu välin päätepisteet sitten haluttuun alueeseen tai ei, on kysytty todennäköisyys eli tiheysfunktion ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala aina sama. Esimerkiksi
Ilmoita ensin todennäköisyydet merkin
avulla käyttäen apuna seuraavaa:
.
Ilmaise tarvittaessa todennäköisyys tapahtuman komplementin avulla:
.
Myös käyrän symmetrisyydestä saatavaa tietoa
saattaa tarvita. Katso tämän jälkeen laskimesta tai taulukkokirjasta standardinormaalijakauman kertymäfunktion arvot eli kysytyt todennäköisyydet.
Normaalijakauman kuvaaja on symmetrinen odotusarvon
suhteen. (Odotusarvon sijasta voidaan käyttää myös keskiarvoa.) Jakauman keskihajonta vaikuttaa käyrän korkeuteen ja leveyteen.Kaikki normaalijakaumat voidaan normittaa vastaamaan standardinormaalijakaumaa, jossa odotusarvona on 0 ja hajontana 1.
Tiheysfunktion kuvaajan ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala on kokonaisuudessaan tasan 1. Satunnaismuuttujan eri todennäköisyyksiä voidaan laskea tutkimalla tiheysfunktion ja x-akselin eri väleillä rajaamia pinta-aloja. Standardinormaalijakauman kertymäfunktion arvoja on listattuna taulukkokirjassa. On hyvä muistaa, että taulukkokirjassa on lueteltu todennäköisyydet aina tiettyyn pisteeseen a saakka eli
Jos epäyhtälömerkki on toisinpäin tai luvun a arvo on negatiivinen, komplementtitapahtuman todennäköisyyksien ja symmetrisyyden avulla saadaan:
Huom. Kuuluu välin päätepisteet sitten haluttuun alueeseen tai ei, on kysytty todennäköisyys eli tiheysfunktion ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala aina sama. Esimerkiksi
Ilmoita ensin todennäköisyydet merkin
avulla käyttäen apuna seuraavaa: . Ilmaise tarvittaessa todennäköisyys tapahtuman komplementin avulla:
. Myös käyrän symmetrisyydestä saatavaa tietoa
saattaa tarvita. Katso tämän jälkeen laskimesta tai taulukkokirjasta standardinormaalijakauman kertymäfunktion arvot eli kysytyt todennäköisyydet.